用牛顿切线法求一个奇函数方程的近似解含反三角函数方程怎么解

  老黄这回要分享一个含有反三角函数的奇函数方程,如何用牛顿切线法来求解。牛顿切线法在“老黄学高数”系列视频第211讲中有详细介绍。具体步骤分成三步:(1)确定根的大概位置;(2)用点列{xn}逼近方程的根;(3)检验近似根的绝对误差。实际操作中,会有所调整。

  分析:为了解题过程中描述的方便,我们会记函数f(x)=x-2arctanx. 并发现这是一个连续的奇函数。连续的奇函数,一定经过原点,即f(0)=0. 说明x=0是原方程的一个根。另外奇函数的性质决定了,方程要么不再有其它的根,如果有,就必然还有偶数个根(除了0以外)。而且它们是以互为相反数的形式成对出现的。我们只需求得正区间或负区间的所有根,就可以得到另一半区间的所有根,从而得到整个方程的所有实数根。

  为了确定根的大概位置,以及为求点列{xn}做准备,一般会先求f(x)的一阶导数和二阶导数。

  又当x趋于负无穷大时,f(x)小于0,当x趋于正无穷大时,f(x)大于0. 具体求极限的过程,这里就省略了。

  这就可以知道,方程有三个根,分别记为ξ10ξ2. 大小关系也给它们确定了,指定ξ1是负根,ξ2是正根,它们是互为相反数。只要求出一个,另一个自然就确定了。下面选择求正根。

  做一个小结:牛顿切线法第一步,确定根的大概位置的一般步骤是:求函数的一阶导和二阶导;用一阶导确定稳定点;用二阶导确定极值点;根据极值,以及函数趋于无穷大的符号性质,确定根的数量;检验根附近的点的函数符号性质;确定根的大概位置。

  然后开始第二步,先明确根所在区间的单调性和凸性。显然,这个函数在(2,3)上,一阶导数大于0,是单调递增的,二阶导数也大于0,是下凸的。它属于牛顿切线法求点列的第二种情形,如下图:(注意,这个图像并不是f(x)图像的一部分)

  这种情形下,要从右边开始找点。即从点(3,0.502)开始作曲线. 第一个点通常都不会满足精确度要求的。

  就继续从点x作切线. 一般情况下,这个点就可能满足精确度要求了。这时候,你有两种选择。

  按老黄提供的方法,是重复上面的步骤,继续找点x3,求得x3约等于2.331.很明显的,2.331就是方程精确到0.001的近似根。

  按牛顿切线法的一般步骤,则是要进行第三步,检验x2,或者x3的误差是否满足精确度要求了。就是求导数f(x)在[2,3]上的最小值,结果约为0.6. 然后用x2的函数值的绝对值除以这个最小值,得到的结果约等于0.00013,远远小于0.001,说明x2的误差符合精确度要求。所以2.331是方程精确到0.001的近似根。

  两种方法,你更喜欢哪种,就用哪种吧。老黄自然更爱用自己的方法了。但你应该会更相信牛顿切线法的权威吧。

  写到这里,老黄突然发现自己的方法不准确的地方。老黄决定以后要放弃这种方法。老黄之所以不在这篇文章就放弃。是想告诉大家,数学探究出糗很正常。有错误,才会有真理。至于老黄的方法为什么不严谨,因为可能出现x1和x2之间的差非常小,于x2和x3之间的差却变大的情况。

  多找几道题来练一练,你肯定会喜欢上这种求方程近似根的方法的。返回搜狐,查看更多

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